一个标准的正方体骰子被投掷 4 次,投掷出的数字的乘积恰为完全平方数的概率的最简分数表示为 mn,则 m+n=_______.
答案 187.
解析 记 2=X,3=Y,5=Z,设f(X,Y,Z)=(1+X+Y+X2+Z+XY)4=∑m,n,p⩾0am,n,pXmYnZp,其中 am,n,p 为非负整数.设所有 m,n,p 均为偶数时对应的 am,n,p 之和为 N,则所求概率为 N64.分别令 (X,Y,Z) 取P={(1,1,1),(1,1−1),(1,−1,1),(1,−1,1),(−1,1,1),(−1,1,−1),(−1,−1,1),(−1,−1,−1)}中的值时,XmYnZp 只有当 m,n,p 均为偶数时取值为 8 个 1,其他时候均为 4 个 −1 和 4 个 1,因此N=∑(X,Y,Z)∈Pf(X,Y,Z)8=64+44+3⋅24+3⋅08=200,从而所求概率为 25162,m+n=25+162=187.