每日一题[2182]生成函数

一个标准的正方体骰子被投掷 4 次,投掷出的数字的乘积恰为完全平方数的概率的最简分数表示为 mn,则 m+n=_______.

答案    187

解析    记 2=X3=Y5=Z,设f(X,Y,Z)=(1+X+Y+X2+Z+XY)4=m,n,p0am,n,pXmYnZp,其中 am,n,p 为非负整数.设所有 m,n,p 均为偶数时对应的 am,n,p 之和为 N,则所求概率为 N64.分别令 (X,Y,Z)P={(1,1,1),(1,11),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)}中的值时,XmYnZp 只有当 m,n,p 均为偶数时取值为 81,其他时候均为 4141,因此N=(X,Y,Z)Pf(X,Y,Z)8=64+44+324+308=200,从而所求概率为 25162m+n=25+162=187

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