△ABC 的三边长 AB=7,BC=8,CA=9.圆 ω1 过点 B 且与直线 AC 且于点 A,圆 ω2 过点 C 且与直线 AB 切于点 A.设 K 是圆 ω1 与圆 ω2 的不同于 A 的交点,AK 的最简表示为 pq,则 p+q= _______.
答案 11.
解析 根据弦切角定理,有∠KAB=∠ACK,∠KAC=∠ABK,
于是 △ABK∼△CAK,进而BKAK=AKCK=ABCA=79.
设 AK=x,则 BK=79x,CK=97x,从而∠AKB=∠AKC=180∘−∠A,∠BKC=2∠A,
于是2[ABC]=2[AKB]+2[BKC]+2[CKA]=AK⋅BK⋅sin∠AKB+BK⋅CK⋅sin∠BKC+CK⋅AK⋅sin∠CKA=x2(79sinA+sin2A+97sinA)=x2sinA⋅(79+2cosA+97)=x2sinA⋅72+(92+72−82)+929⋅7=289x2sinA.
而2[ABC]=9⋅7⋅sinA⟹x=92,
因此所求 m+n=9+2=11.