$\triangle ABC$ 的三边长 $AB=7$，$BC=8$，$CA=9$．圆 $\omega_1$ 过点 $B$ 且与直线 $AC$ 且于点 $A$，圆 $\omega_2$ 过点 $C$ 且与直线 $AB$ 切于点 $A$．设 $K$ 是圆 $\omega_1$ 与圆 $\omega_2$ 的不同于 $A$ 的交点，$AK$ 的最简表示为 $\dfrac pq$，则 $p+q=$ _______．
答案 $11$．
解析 根据弦切角定理，有\[\angle KAB=\angle ACK,\quad \angle KAC=\angle ABK,\]于是 $\triangle ABK\sim\triangle CAK$，进而\[\dfrac{BK}{AK}=\dfrac{AK}{CK}=\dfrac{AB}{CA}=\dfrac79.\]
设 $AK=x$，则 $BK=\dfrac 79x$，$CK=\dfrac 97x$，从而\[\angle AKB=\angle AKC=180^\circ -\angle A,\quad \angle BKC=2\angle A,\]于是\[\begin{split} 2[A B C] &=2[A K B]+2[B K C]+2[C K A] \\ &=A K \cdot B K \cdot \sin \angle A K B+B K \cdot C K \cdot \sin \angle B K C+ C K \cdot A K \cdot \sin \angle C K A \\ &=x^{2}\left(\frac{7}{9} \sin A+\sin 2 A+\frac{9}{7} \sin A\right) \\ &=x^{2} \sin A \cdot\left(\frac{7}{9}+2 \cos A+\frac{9}{7}\right) \\ &=x^{2} \sin A \cdot\dfrac{7^{2}+\left(9^{2}+7^{2}-8^{2}\right)+9^{2}}{9 \cdot 7}\\ &=\dfrac{28}9x^2\sin A.\end{split} \] 而\[2[A B C]=9 \cdot 7 \cdot \sin A\implies x=\frac{9}{2},\]因此所求 $m+n=9+2=11$．