每日一题[2177]两圆相遇

ABC 的三边长 AB=7BC=8CA=9.圆 ω1 过点 B 且与直线 AC 且于点 A,圆 ω2 过点 C 且与直线 AB 切于点 A.设 K 是圆 ω1 与圆 ω2 的不同于 A 的交点,AK 的最简表示为 pq,则 p+q= _______.

答案    11

解析    根据弦切角定理,有KAB=ACK,KAC=ABK,

于是 ABKCAK,进而BKAK=AKCK=ABCA=79.

AK=x,则 BK=79xCK=97x,从而AKB=AKC=180A,BKC=2A,

于是2[ABC]=2[AKB]+2[BKC]+2[CKA]=AKBKsinAKB+BKCKsinBKC+CKAKsinCKA=x2(79sinA+sin2A+97sinA)=x2sinA(79+2cosA+97)=x2sinA72+(92+7282)+9297=289x2sinA.
2[ABC]=97sinAx=92,
因此所求 m+n=9+2=11

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