每日一题[2176]层层分解

已知所有项之和为 $360$ 的递增有限正整数数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足每一项都能整除紧接其后的一项（我们认为单独的一个数 $360$ 也是符合条件的数列），则这样的数列的个数为 _______．

答案    $47$．

解析    根据题意，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 与 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 一一对应，其中 $a_1=k_1$，且 $$a_i=k_1k_2\cdots k_i.$$

情形一     $n=1$．此时符合题意的只有 $360$．

情形二     $n=2$．此时 $k_2=\dfrac{360}{k_1}-1$，因此 $$k_1=1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,$$ 共计 $22$ 个．

情形三     $n\geqslant 3$．此时 $\dfrac{360}{k_1}-1$ 仍可以继续分解．对应的进行一轮分解，有 $$(3,7,16),(3,17,6),\\ (8,2,21),(8,4,10),(8,11,3),\\ (9,3,12),(9,13,2),\\ (10,5,6),(10,7,4)\\ (24,2,6),\\ (36,3,2),\\ (40,2,3),$$ 共计 $12$ 个．然后再进行分解，有 $$(3,7,2,7),(3,7,4,3),(3,17,2,2),\\ (8,2,3,6),(8,2,3,7,2),(8,4,2,4),\\ (9,3,2,5),(9,3,3,3),(9,3,4,2),\\ (10,5,2,2),\\ (24,2,2,2),$$ 共计 $11$ 个．然后再进行分解，有 $$(8,2,3,2,2),$$ 共计 $1$ 个．

因此所求数列数为 $1+22+12+11+1=47$．