每日一题[2172]切割线放缩

已知 $a,b,c>0$． 若 $a+b+c=1$，

1、求证：$a^2+b^2+c^2\geqslant a^3+b^3+c^3+2(ab+bc+ca)^2$．

2、若 $a+b+c=3$，求 $\dfrac 49(ab+bc+ca)+\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac1{c+2}$ 的最大值．

解析

1、题中不等式即

$$\sum_{\rm cyc}a^2(1-a)\geqslant 2(ab+bc+ca)^2,$$ 而根据柯西不等式，有 $$LHS=\sum_{\rm cyc}a^2(b+c)\geqslant \dfrac{\left(\sum_{\rm cyc}a(b+c)\right)^2}{\sum_{\rm cyc}(b+c)}=\dfrac{\left(2\sum_{\rm cyc}ab\right)^2}{2}=2(ab+bc+ca)^2,$$ 命题得证．

2、记题中代数式为 $m$，则

$$\begin{split} m&=\dfrac 49\sum_{\rm cyc}ab+\sum_{\rm cyc}\dfrac1{a+2}\\ &=\dfrac 29\sum_{\rm cyc}(ab+ac)+\sum_{\rm cyc}\dfrac{1}{a+2}\\ &=\sum_{\rm cyc}\left(\dfrac 29a(3-a)+\dfrac{1}{a+2}\right)\\ &\leqslant \sum_{\rm cyc}\left(\dfrac 19(a-1)+\dfrac 79\right)=\dfrac 73,\end{split}$$ 其中 $$\dfrac 29a(3-a)+\dfrac{1}{a+2}-\left(\dfrac 19(a-1)+\dfrac 79\right)=-\dfrac{(a-1)^2(2a+3)}{9(a+2)}\leqslant 0.$$ 因此所求最大值为 $\dfrac 73$．