已知对任意实数 x 都有 f′(x)=3ex+f(x),f(0)=−1,若不等式 f(x)<a(x−2)(其中 a<1)的解集中恰有两个整数,则 a 的取值范围是( )
A.[43e,12)
B.[43e,1)
C.[74e2,43e)
D.[74e2,12)
答案 C.
解析 根据题意,有(e−xf(x))′=3⟺f(x)=(3x+C)ex,结合 f(0)=−1,可得 C=−1,于是关于 x 的不等式a(x−2)>(3x−1)ex只有两个整数解.设函数 g(x)=(3x−1)exx−2,则其导函数g′(x)=(3x2−7x−3)ex(x−2)2,当 x>2 时,有g(x)=(3x−6)exx−2>3e2>1,不符合题意.当 x<2 时,函数 g(x) 满足在 x⩽−1 时单调递增,在 x⩾0 时单调递减,且g(−1)=43e<g(0)=12,g(1)=−2e,因此当 g(−2)⩽a<g(−1) 时,题中不等式只有两个整数解 x=0,−1,从而 a 的取值范围是 [74e2,43e).