每日一题[2152]分离离散

已知对任意实数 $x$ 都有 $f'(x)=3{\rm e}^x+f(x)$，$f(0)=-1$，若不等式 $f(x)<a(x-2)$（其中 $a<1$）的解集中恰有两个整数，则 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[\dfrac{4}{3{\rm e}},\dfrac 12\right)$

B．$\left[\dfrac{4}{3{\rm e}},1\right)$

C．$\left[\dfrac7{4{\rm e}^2},\dfrac{4}{3{\rm e}}\right)$

D．$\left[\dfrac7{4{\rm e}^2},\dfrac 12\right)$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$\left({\rm e}^{-x}f(x)\right)'=3\iff f(x)=(3x+C){\rm e}^x,$$ 结合 $f(0)=-1$，可得 $C=-1$，于是关于 $x$ 的不等式 $$a(x-2)>(3x-1){\rm e}^x$$ 只有两个整数解．设函数 $g(x)=\dfrac{(3x-1){\rm e}^x}{x-2}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{(3x^2-7x-3){\rm e}^x}{(x-2)^2},$$ 当 $x>2$ 时，有 $$g(x)=\dfrac{(3x-6){\rm e}^x}{x-2}>3{\rm e}^2>1,$$ 不符合题意．当 $x<2$ 时，函数 $g(x)$ 满足在 $x\leqslant -1$ 时单调递增，在 $x\geqslant 0$ 时单调递减，且 $$g(-1)=\dfrac{4}{3{\rm e}}<g(0)=\dfrac 12,\quad g(1)=-2{\rm e},$$ 因此当 $g(-2)\leqslant a<g(-1)$ 时，题中不等式只有两个整数解 $x=0,-1$，从而 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{7}{4{\rm e}^2},\dfrac4{3{\rm e}}\right)$．