每日一题[2152]分离离散

已知对任意实数 x 都有 f(x)=3ex+f(x)f(0)=1,若不等式 f(x)<a(x2)(其中 a<1)的解集中恰有两个整数,则 a 的取值范围是(       )

A.[43e,12)

B.[43e,1)

C.[74e2,43e)

D.[74e2,12)

答案    C.

解析    根据题意,有(exf(x))=3f(x)=(3x+C)ex,结合 f(0)=1,可得 C=1,于是关于 x 的不等式a(x2)>(3x1)ex只有两个整数解.设函数 g(x)=(3x1)exx2,则其导函数g(x)=(3x27x3)ex(x2)2,x>2 时,有g(x)=(3x6)exx2>3e2>1,不符合题意.当 x<2 时,函数 g(x) 满足在 x1 时单调递增,在 x0 时单调递减,且g(1)=43e<g(0)=12,g(1)=2e,因此当 g(2)a<g(1) 时,题中不等式只有两个整数解 x=0,1,从而 a 的取值范围是 [74e2,43e)

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