每日一题[2150]构造对应

有 $8$ 个座位连成一排，现有 $5$ 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有_______ 种．

答案       $3600$．

解析    当恰有两个空座位相邻时，空座位将 $8$ 个座位划分为若干段，假设它们包含的座位数依次为 $x_1,x_2,x_3$（$x_1,x_2,x_3\in\mathbb N$ 且 $x_2\geqslant 1$），且 $$x_1+x_2+x_3=5\iff (x_1+1)+x_2+(x_3+1)=7,$$ 因此 $(x_1,x_2,x_3)$ 共有 $\dbinom62=15$ 组，进而所求不同坐法数为 $$15\cdot 2\cdot 5!=3600.$$