每日一题[2139]消元

已知实数 $a,b,c,d,e$,满足\[\begin{cases} a+b+c+d+e=8,\\ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16,\end{cases}\]则 $e$ 的取值范围是(       )

A.$[-2,2]$

B.$[0,1]$

C.$[0,2)$

D.以上答案都不对

答案    D.

解析    根据柯西不等式,有\[-\sqrt{4}\cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\leqslant a+b+c+d\leqslant \sqrt{4}\cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2},\]从而\[|8-e|\leqslant 2\sqrt{16-e^2}\iff 0\leqslant e\leqslant \dfrac{16}5,\]因此 $e$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac{16}5\right]$.

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