每日一题[2133]截面形状

已知一圆锥曲面顶点 $S$，其母线与轴所成的角为 $30^\circ$，在轴线上取一点 $C$，使得 $SC=5$，通过点 $C$ 作一与轴线夹角为 $45^\circ$ 的截面，则截得的曲线方程可表示为（       ）

A．$x^2+2y^2=25$

B．$x^2+3y^2=50$

C．$2x^2+5y^2=50$

D．$2x^2+6y^2=75$

答案    D．

解析    根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则，截得的曲线为椭圆，离心率

$$e=\dfrac{\cos45^\circ}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt 6}3,$$ 且根据正弦定理，可得椭圆的长轴长 $$2a=SC\cdot \sin30^\circ\cdot \left(\dfrac{1}{\sin 75^\circ}+\dfrac{1}{\sin15^\circ}\right)=5\sqrt 6,$$ 因此椭圆的半焦距 $c=5$，进而所求曲线方程为 $$\dfrac{x^2}{\frac{75}2}+\dfrac{y^2}{\frac{25}2}=1\iff 2x^2+6y^2=75.$$