每日一题[2109]数列不等式

已知 $\left(\dfrac{12}{11}\right)^{10}\approx 2.3872$，求证：当 $n\geqslant 11$ 时，有

$$\left(1+\dfrac 1n\right)^n<3\left(1-\dfrac 1n\right).$$

解析    题中不等式即

$$\ln\left(1+\dfrac 1n\right)<\dfrac 1n\left(\ln 3+\ln\left(1-\dfrac 1n\right)\right),$$ 因此只需要证明当 $x\in\left(0,\dfrac{1}{11}\right)$ 时，有 $$x\ln 3+x\ln (1-x)-\ln (1+x)>0,$$ 设左侧函数为 $f(x)$，则其导函数 $$f'(x)=\ln 3+1+\ln(1-x)-\dfrac{2}{1-x^2},$$ 于是函数 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减．结合 $f'(0)=\ln 3+1-2>0$，可得 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{11}\right)$ 上或者单调递增，或者先单调递增后单调递减，无论何种情形，都只需要证明 $f\left(\dfrac{1}{11}\right)>0$，也即当 $n=11$ 时原不等式成立．而原不等式即 $$\left(1+\dfrac 1n\right)^{n-1}<3\cdot \dfrac{n-1}n\cdot \dfrac{n}{n+1}\iff \left(1+\dfrac 1n\right)^{n-1}<\dfrac{3(n-1)}{n+1},$$ 当 $n=11$ 时，左侧约为 $2.3872$，右侧为 $2.5$，命题成立． 综上所述，原命题得证．