已知 (1211)10≈2.3872,求证:当 n⩾ 时,有\left(1+\dfrac 1n\right)^n<3\left(1-\dfrac 1n\right).
解析 题中不等式即\ln\left(1+\dfrac 1n\right)<\dfrac 1n\left(\ln 3+\ln\left(1-\dfrac 1n\right)\right),因此只需要证明当 x\in\left(0,\dfrac{1}{11}\right) 时,有x\ln 3+x\ln (1-x)-\ln (1+x)>0,设左侧函数为 f(x),则其导函数f'(x)=\ln 3+1+\ln(1-x)-\dfrac{2}{1-x^2},于是函数 f'(x) 在 (0,1) 上单调递减.结合 f'(0)=\ln 3+1-2>0,可得 f(x) 在 \left(0,\dfrac{1}{11}\right) 上或者单调递增,或者先单调递增后单调递减,无论何种情形,都只需要证明 f\left(\dfrac{1}{11}\right)>0,也即当 n=11 时原不等式成立.而原不等式即\left(1+\dfrac 1n\right)^{n-1}<3\cdot \dfrac{n-1}n\cdot \dfrac{n}{n+1}\iff \left(1+\dfrac 1n\right)^{n-1}<\dfrac{3(n-1)}{n+1},当 n=11 时,左侧约为 2.3872,右侧为 2.5,命题成立. 综上所述,原命题得证.