每日一题[2097]角格点问题

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=AC$，$\angle BAP=20^\circ$，$\angle ABP=10^\circ$，$\angle PAC=60^\circ$，则 $\angle APC=$ _______．

答案    $100^\circ$．

解析    作 $\angle PAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$，作 $P$ 关于 $AD$ 的对称点 $E$，则

$$\angle PAD=\angle DAE=30^\circ,$$ $\triangle APE$ 为正三角形，且 $E$ 在边 $AC$ 上．连接 $EB,EP,ED$，如图．

由于 $\angle APB=150^\circ$，$\angle APE=60^\circ$，于是 $\angle BPE=150^\circ$，从而 $\triangle BAP\cong\triangle BEP$，因此

$$\angle AEB=\angle ADB=80^\circ,$$ 从而 $A,B,D,E$ 四点共圆．因此 $$\angle ADP=\angle ADE=\angle ABE=20^\circ,$$ 且 $$\angle DEC=\angle ABC=\angle ACD\implies DE=DC,$$ 于是 $DP=DE=DC$，进而可得 $$\angle DPC=\angle DCP=30^\circ,$$ 从而 $\angle ACP=20^\circ$，$\angle APC=100^\circ$．