每日一题[2090]集中条件

如图，直线 $y=kx-8k$ 交 $x$ 轴于点 $A$，交 $y$ 轴正半轴于点 $B$，且 $\triangle AOB$ 的面积等于 $32$．

1、求直线 $AB$ 的解析式．

2、点 $P$ 为 $OA$ 上一点，连接 $PB$，把线段 $PB$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到线段 $CB$，连接 $PC$，设点 $P$ 的横坐标为 $m$，四边形 $PABC$ 的面积为 $S$，求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式．

3、在第 $(2)$ 小题的条件下，延长 $BC$ 交 $x$ 轴于点 $E$，点 $D$ 在 $EB$ 的延长线上，且 $∠ADB=4\angle CPE$，若 $AD+BD=BE$，求点 $D$ 的坐标．

解析

1、根据题意，有 $A(8,0)$，$B(0,-8k)$，其中 $k<0$，于是 $\triangle AOB$ 的面积

$$[AOB]=\dfrac 12\cdot 8\cdot (-8k)=-32k,$$ 因此 $k=-1$，所求解析式为 $y=-x+8$．

2、根据题意，有

$$\begin{split} S&=[PABC]\\ &=[BPA]+[BCP]\\ &=\dfrac 12\cdot AP\cdot OB+\dfrac 12\cdot BP^2\\ &=\dfrac 12\cdot (8-m)\cdot 8+\dfrac 12\cdot (8^2+m^2)\\ &=\dfrac 12m^2-4m+64,\end{split}$$ 其中 $m$ 的取值范围是 $[0,8]$．

3、延长 $ED$ 至 $F$，使得 $DF=DA$，则根据题意，有

$$AD+BD=BE\implies DF+BD=BE\implies BE=BF,$$ 于是 $F$ 为a $E$ 点关于 $BP$ 的对称点，且 $\angle ADB=2\angle AFB$，从而 $\angle AFB=2\angle CPE$．设 $\angle CPE=x$，则 $\angle BPA=135^\circ-x$，进而 $\angle PBA=x$，于是 $\angle FBA=90^\circ-x$，结合 $\angle AFB=\dfrac 12\angle ADB=2x$，可得 $\angle BAF=90^\circ-x$，因此 $FB=FA$．

作 $FH\perp EA$ 于 $H$，则 $OB$ 为 $\triangle EHF$ 的中位线，从而 $FH=16$．又 $OA=OB$ 且 $FA=FB$，于是 $OF$ 垂直平分 $AB$，因此 $F$ 在直线 $y=x$ 上，从而 $F(16,16)$．进而直线 $EF$ 的解析式为 $y=\dfrac 12x+8$，设 $D(2t,t+8)$，而 $AF$ 的中点 $M(12,8)$，因此由 $DM\perp AF$ 可得

$$\dfrac {(t+8)-8}{2t-12}=-\dfrac 12\iff t=3,$$ 从而 $D(6,11)$．

事实上，此时 $P(4,0)$，恰为 $OA$ 中点．另外若条件改为 $\angle PDB=4\angle CPE$，则用类似的方法可得 $\angle FEP=2\angle FPE$，于是可得 $\angle CPE=15^\circ$，进而可得 $D\left(8,\dfrac{24+8\sqrt 3}3\right)$．