每日一题[2088]换元显真章

已知 $x,y\in \mathbb R^+$，且 $\dfrac 4x+\dfrac 9y=1$，则 $\dfrac 4{2x^2+x}+\dfrac 9{y^2+y}$ 的最小值是_______．

答案    $\dfrac1{18}$

解析    题中问题即已知 $a,b>0$，且 $a+b=1$，求 $m=\dfrac{a^2}{a+8}+\dfrac {b^2}{b+9}$ 的最小值．而根据柯西不等式，有

$$m\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{(a+8)+(b+9)}=\dfrac 1{18},$$ 等号当 $\dfrac{a}{a+8}=\dfrac{b}{b+9}$，即 $(a,b)=\left(\dfrac8{17},\dfrac9{17}\right)$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac1{18}$．