每日一题[2078]多项式展开

展开式 $\left(x^2+\dfrac 1x+y^3+\dfrac 1y\right)^{10}$ 中的常数项为_______．

答案    $12600$．

解析    题中展开式通项为 $$T(a,b,c,d)=\dfrac{10!}{a!b!c!d!}\left(x^2\right)^a\left(\dfrac 1x\right)^b\left(y^3\right)^c\left(\dfrac 1y\right)^d=\dfrac{10!}{a!b!c!d!}x^{2a-b}y^{3c-d},$$ 解不定方程组 $$\begin{cases} 2a-b=0,\\ 3c-d=0,\\ a+b+c+d=10,\end{cases}$$ 可得其自然数解为 $$(a,b,c,d)=(2,4,1,3),$$ 因此所求常数项为 $$T(2,4,1,3)=\dfrac{10!}{2!4!1!3!}=12600.$$