每日一题[2075]间隔染色

是否存在整数集 $\mathbb Z$ 上的函数 $f: \mathbb{Z} \to \{-1,0,1\}$，对任意的整数 $x, y \in \mathbb{Z}$，只要 $|x-y| \in\{2,3,5\}$ 就有 $f(x) \neq f(y)$？证明你的结论．

答案    不存在．

解析    即将数轴上的数为红黄绿三色，使得间距为 $2,3,5$ 的数均不同色．不妨设 $0$ 为红色，$5$ 为黄色，则 $2,3$ 均为绿色． 若 $-5$ 为黄色，则 $-2,-3$ 均为绿色，矛盾． 若 $-5$ 为绿色，则 $-2,-3$ 均为黄色，此时 $-1,1$ 均为红色，矛盾． 综上所述，不存在符合题意的函数 $f$．