每日一题[2072]引入参数

函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+26}+\sqrt{14-x}$ 的最大值是_______．

答案    $11$．

解析    引入含参的柯西不等式，有

$$\begin{split} f(x)&=\sqrt{\dfrac 1a}\cdot \sqrt{ax-a}+\sqrt{\dfrac 1b}\cdot \sqrt{bx+26b}+\sqrt{\dfrac 1c}\cdot \sqrt{14c-cx}\\ &\leqslant \sqrt{\dfrac 1{a}+\dfrac 1{b}+\dfrac 1{c}}\cdot \sqrt{(a+b-c)x+(-a+26b+14c)},\end{split}$$ 等号当且仅当 $$(x-1)a^2=(x+26)b^2=(14-x)c^2=k$$ 时取得．取等条件即 $$(a,b,c)=\left(\sqrt{\dfrac k{x-1}},\sqrt{\dfrac k{x+26}},\sqrt{\dfrac k{14-x}}\right),$$ 为了使得不等式右侧为定值，有 $$a+b-c=0,$$ 可得 $$\sqrt{\dfrac k{x-1}}+\sqrt{\dfrac k{x+26}}-\sqrt{\dfrac k{14-x}}=0,$$ 解得 $$x=10,$$ 因此当 $x=10$ 时函数 $f(x)$ 取得最大值，为 $11$．