每日一题[2061]穿肉串

$[x]$ 表示取数 $x$ 的整数部分，例如 $\left[\dfrac{15}{4}\right]=3$ 等，若\[y=4\left(\frac{x+[u]}{4}-\left[\frac{x+[u]}{4}\right]\right),\]且\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&1,8,11,14& 2,5,12,15&3,6,9,16& 4,7,10,13\\ \hline y&1&2&3&0 \\ \hline\end{array}\] 则表达式中 $u$ 等于_______．

答案    $u=\dfrac{x-1}4$．

解析    记 $f(x)=x-4\cdot \left[\dfrac x4\right]$，则当 $[u]=k$ 时，有\[y=x+k-4\cdot \left[\dfrac{x+k}4\right],\]记为 $f_k(x)$（即 $f(x+k)$），我们画出 $f_0,f_1,f_2,f_3$ 的图象，通过散点图的分布观察得到 $x\to u$ 的规律，如图．

由图可知\[[u]=\begin{cases} 0,&x=1,2,3,4,\\ 1,&x=5,6,7,8,\\ 2,&x=9,10,11,12,\\ 3,&x=13,14,15,16,\end{cases}\]因此 $u=\dfrac{x-1}4$．