每日一题[2054]排序

设集合 S,TSNTNS,T 中至少有两个元素,且 S,T 满足:

① 对于任意 x,yS,若 xy,都有 xyT

② 对于任意 x,yT,若 x<y,则 yxS

下列命题正确的是(       )

A.若 S4 个元素,则 ST7 个元素

B.若 S4 个元素,则 ST6 个元素

C.若 S3 个元素,则 ST4 个元素

D.若 S3 个元素,则 ST5 个元素

答案    A.

解析    若 S 中有 3 个元素,不妨设为 a,b,ca<b<c,则 ab,bc,caT,而 ab<ca<bc,于是 cb,ba,ca 均在 S 中. 若 ca=b,则 cb=ba=a,则 S={a,a2,a3}T={a3,a4,a5},于是ST={a,a2,a3,a4,a5}.ca=c,则 a=1,此时 cb=b,于是 S={1,b,b2}T={b,b2,b3},于是ST={1,b,b2,b3}. 综上所述,当 S 中有 3 个元素时,ST4 个或 5 个元素.

S 中有 4 个元素,设为 a,b,c,da<b<c<d,则ab,ac,ad,bc,bd,cdT,进而ba,ca,da,cb,db,dc,cdab,bdac,max由于其中\dfrac ba<\dfrac ca<\dfrac da<\dfrac{cd}{ab},它们互不相同,于是必然有\dfrac ba=a,\quad \dfrac ca=b,\quad \dfrac da=c,\quad \dfrac{cd}{ab}=d,于是有S=\{a,a^2,a^3,a^4\},\quad T=\{a^3,a^4,a^5,a^6,a^6\},进而S\cup T=\{a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\}7 个元素.

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