设集合 S,T,S⊆N∗,T⊆N∗,S,T 中至少有两个元素,且 S,T 满足:
① 对于任意 x,y∈S,若 x≠y,都有 xy∈T;
② 对于任意 x,y∈T,若 x<y,则 yx∈S.
下列命题正确的是( )
A.若 S 有 4 个元素,则 S∪T 有 7 个元素
B.若 S 有 4 个元素,则 S∪T 有 6 个元素
C.若 S 有 3 个元素,则 S∪T 有 4 个元素
D.若 S 有 3 个元素,则 S∪T 有 5 个元素
答案 A.
解析 若 S 中有 3 个元素,不妨设为 a,b,c 且 a<b<c,则 ab,bc,ca∈T,而 ab<ca<bc,于是 cb,ba,ca 均在 S 中. 若 ca=b,则 cb=ba=a,则 S={a,a2,a3},T={a3,a4,a5},于是S∪T={a,a2,a3,a4,a5}. 若 ca=c,则 a=1,此时 cb=b,于是 S={1,b,b2},T={b,b2,b3},于是S∪T={1,b,b2,b3}. 综上所述,当 S 中有 3 个元素时,S∪T 有 4 个或 5 个元素.
若 S 中有 4 个元素,设为 a,b,c,d 且 a<b<c<d,则ab,ac,ad,bc,bd,cd∈T,进而ba,ca,da,cb,db,dc,cdab,bdac,max由于其中\dfrac ba<\dfrac ca<\dfrac da<\dfrac{cd}{ab},它们互不相同,于是必然有\dfrac ba=a,\quad \dfrac ca=b,\quad \dfrac da=c,\quad \dfrac{cd}{ab}=d,于是有S=\{a,a^2,a^3,a^4\},\quad T=\{a^3,a^4,a^5,a^6,a^6\},进而S\cup T=\{a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\}有 7 个元素.