每日一题[2052]引参配平

在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P(32,0)A,B 是圆 C:x2+(y12)2=36 上的两个动点,满足 PA=PB,则 PAB 的面积的最大值是_______.

答案    105

解析    不改变问题的本质,将问题改写为已知 P 到半径 r=6 的圆 O 的圆心距离为 1,圆 O 上有两动点 A,B,且 PA=PB,求 PAB 面积的最大值. 由于 OA=OBPA=PB,于是 OPAB,设 OAB 的距离为 d,则[PAB]12(1+d)2r2d2=(r+d)(rd)(1+d)(1+d)=1λμ(6λ+λd)(6μμd)(1+d)(1+d)1λμ(6λ+6μ+2+(λμ+2)d4)4,

等号当 O 位于 PAB 的垂线段内部,且 6λ+λd=6μμd=1+d
时取得,同时,令λμ+2=0,
解得 (λ,μ,d)=(12,52,4),有因此所求面积的最大值为1λμ(6λ+6μ+24)2=105.

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