每日一题[2052]引参配平

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $P\left(\dfrac{\sqrt 3}2,0\right)$，$A,B$ 是圆 $C:x^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2=36$ 上的两个动点，满足 $PA=PB$，则 $\triangle PAB$ 的面积的最大值是_______．

答案    $10\sqrt 5$．

解析    不改变问题的本质，将问题改写为已知 $P$ 到半径 $r=6$ 的圆 $O$ 的圆心距离为 $1$，圆 $O$ 上有两动点 $A,B$，且 $PA=PB$，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值． 由于 $OA=OB$，$PA=PB$，于是 $OP\perp AB$，设 $O$ 到 $AB$ 的距离为 $d$，则 $$\begin{split}[PAB]&\leqslant \dfrac 12\left(1+d\right)\cdot 2\sqrt{r^2-d^2}\\ &=\sqrt{(r+d)(r-d)(1+d)(1+d)}\\ &=\dfrac1{\sqrt{\lambda\mu}}\sqrt{(6\lambda +\lambda d)(6\mu-\mu d)(1+d)(1+d)}\\ &\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\lambda\mu}}\sqrt{\left(\dfrac{6\lambda+6\mu+2+(\lambda-\mu+2)d}{4}\right)^4},\end{split}$$ 等号当 $O$ 位于 $P$ 到 $AB$ 的垂线段内部，且 $$6\lambda+\lambda d=6\mu-\mu d=1+d$$ 时取得，同时，令 $$\lambda-\mu+2=0,$$ 解得 $(\lambda,\mu,d)=\left(\dfrac 12,\dfrac 52,4\right)$，有因此所求面积的最大值为 $$\dfrac{1}{\sqrt{\lambda\mu}}\cdot \left(\dfrac{6\lambda+6\mu+2}4\right)^2=10\sqrt 5.$$