在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P(√32,0),A,B 是圆 C:x2+(y−12)2=36 上的两个动点,满足 PA=PB,则 △PAB 的面积的最大值是_______.
答案 10√5.
解析 不改变问题的本质,将问题改写为已知 P 到半径 r=6 的圆 O 的圆心距离为 1,圆 O 上有两动点 A,B,且 PA=PB,求 △PAB 面积的最大值. 由于 OA=OB,PA=PB,于是 OP⊥AB,设 O 到 AB 的距离为 d,则[PAB]⩽12(1+d)⋅2√r2−d2=√(r+d)(r−d)(1+d)(1+d)=1√λμ√(6λ+λd)(6μ−μd)(1+d)(1+d)⩽1√λμ√(6λ+6μ+2+(λ−μ+2)d4)4,
等号当 O 位于 P 到 AB 的垂线段内部,且 6λ+λd=6μ−μd=1+d
时取得,同时,令λ−μ+2=0,
解得 (λ,μ,d)=(12,52,4),有因此所求面积的最大值为1√λμ⋅(6λ+6μ+24)2=10√5.
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