每日一题[2051]递推数列

已知数列 $\{a_n\}$($n\in\mathbb N^{\ast}$)的首项 $a_1=1$,前 $n$ 项和为 $S_n$,设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数.若对一切正整数 $n$,均有 $S_{n+1}^{\frac 1k}-S_n^{\frac 1k}=\lambda a_{n+1}^{\frac 1k}$ 成立,则称此数列为“$\lambda\sim k$”数列.

1、若等差数列 $\{a_n\}$ 是“$\lambda\sim 1$”数列,求 $\lambda$ 的值.

2、若数列 $\{a_n\}$ 是“$\dfrac{\sqrt 3}3\sim 2$”数列,且 $a_n>0$,求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

3、对于给定的 $\lambda$,是否存在三个不同的数列 $\{a_n\}$ 为“$\lambda \sim 3$”数列,且 $a_n\geqslant 0$?若存在,求 $\lambda$ 的取值范围;若不存在,说明理由.

解析

1、取 $n=1$,有\[(1+a_2)-1=\lambda a_2,\]于是 $a_2=0$ 或 $\lambda=1$.取 $n=2$,有\[(1+a_2+a_3)-(1+a_2)=\lambda a_3,\]于是 $a_3=0$ 或 $\lambda=1$.经验证,$\lambda=1$ 时符合题意. 综上所述,$\lambda$ 的值为 $1$.

2、根据题意,有\[\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n}=\sqrt{\dfrac{a_{n+1}}3}\iff \sqrt{3S_{n+1}}-\sqrt{3S_n}=\sqrt{S_{n+1}-S_n},\]设 $T_n=\sqrt{\dfrac{S_{n+1}}{S_n}}$(由 $a_n>0$ 有 $T_n>1$),则两边平方得\[3T_n^2+3-6T_n=T_n^2-1,\]即\[\left(T_n-1\right)\left(T_n-2\right)=0,\]于是\[T_n=0\iff S_{n+1}=4S_n\iff S_n=4^{n-1},\]进而可得\[a_n=\begin{cases} 1,&n=1,\\ 3\cdot 4^{n-2},&n\geqslant 2.\end{cases}\]

3、设各项非负的数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$ 为“$\lambda \sim 3$ "数列,则\[\sqrt[3]{S_{n+1}}-\sqrt[3]{S_n}=\lambda\sqrt[3]{a_{n+1}}\iff \sqrt[3]{S_{n+1}}-\sqrt[3]{S_n}=\lambda\sqrt[3]{S_{n+1}-S_n},\]令 $T_n=\sqrt[3]{\dfrac{S_{n+1}}{S_n}}$(由 $a_n\geqslant 0$,可得 $T_n\geqslant 1$),两边立方可得\[T_n^3-3T_n^2+3T_n-1=\lambda^3\left(T_n^3-1\right),\]即\[(T_n-1)\big((T_n-1)^2-\lambda^3(T_n^2+T_n+1)\big)=0,\]因此关于 $t$ 的方程\[(t-1)^2-\lambda^3(t^2+t+1)=0\]有大于 $1$ 的实数解时,存在无数个不同的“$\lambda \sim 3$ "数列;否则只存在一个“$\lambda \sim 3$ "数列(对应 $S_n=1$,$n\in\mathbb N^{\ast}$).而该方程等价于\[\lambda^3=\dfrac{(t-1)^2}{t^2+t+1}=1-\dfrac{3}{t+\dfrac 1t+1},\]其中 $t>1$,因此 $\lambda$ 的取值范围是 $(0,1)$.

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每日一题[2051]递推数列》有2条回应

  1. louxin2020说:

    倒数第三个方程计算得有误吧

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