每日一题[2050]分界线

已知关于 $x$ 的函数 $y=f(x)$,$y=g(x)$ 与 $h(x)=kx+b$($k,b\in\mathbb R$)在区间 $D$ 上恒有 $f(x)\geqslant h(x)\geqslant g(x)$.

1、若 $f(x)=x^2+2x$,$g(x)=-x^2+2x$,$D=(-\infty,+\infty)$,求 $h(x)$ 的表达式.

2、若 $f(x)=x^2-x+1$,$g(x)=k\ln x$,$h(x)=kx-k$,$D=(0,+\infty)$,求 $k$ 的取值范围.

3、若 $f(x)=x^4-2x^2$,$g(x)=4x^2-8$,$h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2$($0<|t|\leqslant \sqrt 2$),$D=[m,n]\subseteq \left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right]$,求证:$n-m\leqslant \sqrt 7$.

解析

1、根据题意,有\[\begin{cases} \forall x\in\mathbb R,x^2+(2-k)x-b\geqslant 0,\\ \forall x\in\mathbb R,x^2+(k-2)x+b\geqslant 0,\end{cases}\iff \begin{cases} (2-k)^2+4b\leqslant 0,\\ (k-2)^2-4b\leqslant 0,\end{cases}\]解得 $k=2$,$b=0$,因此 $h(x)=2x$.

2、根据题意,有\[\begin{cases} \forall x>0,x^2-(1+k)x+1+k\geqslant 0,\\ \forall x>0,kx-k\ln x-k \geqslant 0,\end{cases}\]我们熟知当 $x>0$ 时,有 $\ln x\leqslant x-1$,于是根据第二个条件,有 $k\geqslant 0$.进而根据第一个条件,有\[(1+k)^2-4(1+k)\leqslant 0\iff k\leqslant 3,\]综上所述,$k$ 的取值范围是 $[0,3]$.

3、注意到 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=4(x^3-x),\]于是 $h(x)$ 的图象为函数 $f(x)$ 的图象在 $x=t$ 处的切线.根据对称性,只需要证明 $0<t\leqslant\sqrt 2$ 的情形.考虑 $\varphi(x)=f(x)-h(x)$,有\[\varphi(x)=(x-t)^2(x^2+2tx+3t^2-2),\]记 $\Delta=(2t)^2-4(3t^2-2)=8(1-t^2)$,按分界点 $t=1$ 讨论.

情形一     $0<t<1$.此时 $\varphi(x)$ 有 $4$ 个根,其中 $x=t$ 为二重根,剩下的两根记为 $x_1,x_2$($x_1<x_2$),由于 $x_1+x_2=-t$,于是 $x_1<0$. 若 $x_1<t\leqslant x_2$ 即 $0<t\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3$,则 $D\subseteq \left[-\sqrt 2,x_1\right]$ 或 $D\subseteq \left[x_2,\sqrt 2\right]$,由于 $x_1<0$,$x_2>0$,于是\[n-m<\sqrt 2\leqslant \sqrt 7.\] 若 $x_1<x_2<t$ 即 $\dfrac{\sqrt 3}3<t<1$,则 $D\subseteq \left[-\sqrt 2,t\right]$ 或 $D\subseteq \left[t,\sqrt 2\right]$,于是\[n-m\leqslant t+\sqrt 2\leqslant 1+\sqrt 2<\sqrt 7.\]

情形二    $t=1$.此时\[\varphi(x)=(x+1)^2(x-1)^2\geqslant 0,\]于是只需要考虑 $g(x)\leqslant -1$,解得 $D=\left[-\dfrac{\sqrt 7}2,\dfrac{\sqrt 7}2\right]$,于是 $n-m=\sqrt 7$.

情形三    $1<t\leqslant \sqrt 2$.此时 $\varphi(x)\geqslant 0$,于是只需要考虑 $g(x)\leqslant h(x)$,也即\[4x^2-4(t^3-t)x+3t^4-2t^2-8\leqslant 0,\]于是\[\begin{split} n-m&=\dfrac{\sqrt{16(t^3-t)^2-16(3t^4-2t^2-8)}}{4}\\ &=\sqrt{t^6-5t^4+3t^2+8}\\ &=\sqrt{7-(t^2-1)\big(1+t^2(4-t^2)\big)}\\ &<\sqrt 7.\end{split}\]

综上所述,命题得证.

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每日一题[2050]分界线》有2条回应

  1. louxin2020说:

    情形1中根据x1+x2=-2t,可得x1<-t,x2>-t,n-m<根号2+t≤根号2+1,不用讨论

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