每日一题[2050]分界线

已知关于 $x$ 的函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 与 $h(x)=kx+b$（$k,b\in\mathbb R$）在区间 $D$ 上恒有 $f(x)\geqslant h(x)\geqslant g(x)$．

1、若 $f(x)=x^2+2x$，$g(x)=-x^2+2x$，$D=(-\infty,+\infty)$，求 $h(x)$ 的表达式．

2、若 $f(x)=x^2-x+1$，$g(x)=k\ln x$，$h(x)=kx-k$，$D=(0,+\infty)$，求 $k$ 的取值范围．

3、若 $f(x)=x^4-2x^2$，$g(x)=4x^2-8$，$h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2$（$0<|t|\leqslant \sqrt 2$），$D=[m,n]\subseteq \left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right]$，求证：$n-m\leqslant \sqrt 7$．

解析

1、根据题意，有 $$\begin{cases} \forall x\in\mathbb R,x^2+(2-k)x-b\geqslant 0,\\ \forall x\in\mathbb R,x^2+(k-2)x+b\geqslant 0,\end{cases}\iff \begin{cases} (2-k)^2+4b\leqslant 0,\\ (k-2)^2-4b\leqslant 0,\end{cases}$$ 解得 $k=2$，$b=0$，因此 $h(x)=2x$．

2、根据题意，有 $$\begin{cases} \forall x>0,x^2-(1+k)x+1+k\geqslant 0,\\ \forall x>0,kx-k\ln x-k \geqslant 0,\end{cases}$$ 我们熟知当 $x>0$ 时，有 $\ln x\leqslant x-1$，于是根据第二个条件，有 $k\geqslant 0$．进而根据第一个条件，有 $$(1+k)^2-4(1+k)\leqslant 0\iff k\leqslant 3,$$ 综上所述，$k$ 的取值范围是 $[0,3]$．

3、注意到 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=4(x^3-x),$$ 于是 $h(x)$ 的图象为函数 $f(x)$ 的图象在 $x=t$ 处的切线．根据对称性，只需要证明 $0<t\leqslant\sqrt 2$ 的情形．考虑 $\varphi(x)=f(x)-h(x)$，有 $$\varphi(x)=(x-t)^2(x^2+2tx+3t^2-2),$$ 记 $\Delta=(2t)^2-4(3t^2-2)=8(1-t^2)$，按分界点 $t=1$ 讨论．

情形一     $0<t<1$．此时 $\varphi(x)$ 有 $4$ 个根，其中 $x=t$ 为二重根，剩下的两根记为 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），由于 $x_1+x_2=-t$，于是 $x_1<0$． 若 $x_1<t\leqslant x_2$ 即 $0<t\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3$，则 $D\subseteq \left[-\sqrt 2,x_1\right]$ 或 $D\subseteq \left[x_2,\sqrt 2\right]$，由于 $x_1<0$，$x_2>0$，于是 $$n-m<\sqrt 2\leqslant \sqrt 7.$$ 若 $x_1<x_2<t$ 即 $\dfrac{\sqrt 3}3<t<1$，则 $D\subseteq \left[-\sqrt 2,t\right]$ 或 $D\subseteq \left[t,\sqrt 2\right]$，于是 $$n-m\leqslant t+\sqrt 2\leqslant 1+\sqrt 2<\sqrt 7.$$

情形二    $t=1$．此时 $$\varphi(x)=(x+1)^2(x-1)^2\geqslant 0,$$ 于是只需要考虑 $g(x)\leqslant -1$，解得 $D=\left[-\dfrac{\sqrt 7}2,\dfrac{\sqrt 7}2\right]$，于是 $n-m=\sqrt 7$．

情形三    $1<t\leqslant \sqrt 2$．此时 $\varphi(x)\geqslant 0$，于是只需要考虑 $g(x)\leqslant h(x)$，也即 $$4x^2-4(t^3-t)x+3t^4-2t^2-8\leqslant 0,$$ 于是 $$\begin{split} n-m&=\dfrac{\sqrt{16(t^3-t)^2-16(3t^4-2t^2-8)}}{4}\\ &=\sqrt{t^6-5t^4+3t^2+8}\\ &=\sqrt{7-(t^2-1)\big(1+t^2(4-t^2)\big)}\\ &<\sqrt 7.\end{split}$$

综上所述，命题得证．