每日一题[2049]分离变量

已知函数 $f(x)=\begin{cases} x^3,&x\geqslant 0,\\ -x,&x<0.\end{cases}$ 若函数 $g(x)=f(x)-|kx^2-2x|$（$k\in\mathbb R$）恰有 $4$ 个零点，则 $k$ 的取值范围是（        ）

A．$\left(-\infty,-\dfrac 12\right)\cup\left(2\sqrt 2,+\infty\right)$

B．$\left(-\infty,-\dfrac 12\right)\cup\left(0,2\sqrt 2\right)$

C．$\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,2\sqrt 2\right)$

D．$(-\infty,0)\cup\left(2\sqrt 2,+\infty\right)$

答案    D．

解析    显然 $x=0$ 是 $g(x)$ 的一个零点．接下来考虑 $x\ne 0$，恰有 $3$ 个零点．考虑方程

$$|kx-2|=\begin{cases} x^2,&x> 0,\\ -x,&x<0,\end{cases}\iff kx-2=\begin{cases} x^2,&x> 0,\\ -x,&x<0,\end{cases} \lor kx-2=\begin{cases} -x^2,&x> 0,\\ x,&x<0,\end{cases}$$ 也即 $$k=\begin{cases} x+\dfrac 2x,&x> 0,\\ \dfrac 3x,&x<0,\end{cases}\lor k=\begin{cases} -x+\dfrac 2x,&x>0,\\ \dfrac 1x,&x<0,\end{cases}$$ 如图，作出 $$h_1(x)=\begin{cases} x+\dfrac 2x,&x> 0,\\ \dfrac 3x,&x<0,\end{cases}\quad h_2(x)=\begin{cases} -x+\dfrac 2x,&x>0,\\ \dfrac 1x,&x<0,\end{cases}$$ 的图象以及直线 $y=k$，可得 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,0)\cup\left(2\sqrt 2,+\infty\right)$．