已知函数 f(x)={x3,x⩾ 若函数 g(x)=f(x)-|kx^2-2x|(k\in\mathbb R)恰有 4 个零点,则 k 的取值范围是( )
A.\left(-\infty,-\dfrac 12\right)\cup\left(2\sqrt 2,+\infty\right)
B.\left(-\infty,-\dfrac 12\right)\cup\left(0,2\sqrt 2\right)
C.\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,2\sqrt 2\right)
D.(-\infty,0)\cup\left(2\sqrt 2,+\infty\right)
答案 D.
解析 显然 x=0 是 g(x) 的一个零点.接下来考虑 x\ne 0,恰有 3 个零点.考虑方程|kx-2|=\begin{cases} x^2,&x> 0,\\ -x,&x<0,\end{cases}\iff kx-2=\begin{cases} x^2,&x> 0,\\ -x,&x<0,\end{cases} \lor kx-2=\begin{cases} -x^2,&x> 0,\\ x,&x<0,\end{cases}也即k=\begin{cases} x+\dfrac 2x,&x> 0,\\ \dfrac 3x,&x<0,\end{cases}\lor k=\begin{cases} -x+\dfrac 2x,&x>0,\\ \dfrac 1x,&x<0,\end{cases}如图,作出h_1(x)=\begin{cases} x+\dfrac 2x,&x> 0,\\ \dfrac 3x,&x<0,\end{cases}\quad h_2(x)=\begin{cases} -x+\dfrac 2x,&x>0,\\ \dfrac 1x,&x<0,\end{cases}的图象以及直线 y=k,可得 k 的取值范围是 (-\infty,0)\cup\left(2\sqrt 2,+\infty\right).