每日一题[2043]反客为主

设函数 $f(x)={\rm e}^x+a(x-1)+b$ 在区间 $[1,3]$ 上存在零点，则 $a^2+b^2$ 的最小值为_______．

答案    ${\rm e}^2$．

解析    设零点为 $t$，则

$$-{\rm e}^t=(t-1)a+b\geqslant -\sqrt{(t-1)^2+1}\cdot \sqrt{a^2+b^2},$$ 因此 $$a^2+b^2\geqslant \dfrac{{\rm e}^{2t}}{(t-1)^2+1},$$ 考虑函数 $f(x)=(x^2-2x+2){\rm e}^{-2x}$，其导函数 $$f'(x)=(-2x^2+6x-6){\rm e}^{-2x},$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $x\in [1,3]$ 上单调递减，从而 $a^2+b^2$ 的最小值为 $\dfrac{1}{f(1)}={\rm e}^2$．