设 a,b,c 均为大于零的实数,若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实根,则( )
A.max{a,b,c}⩾12(a+b+c)
B.max{a,b,c}⩾49(a+b+c)
C.min{a,b,c}⩽14(a+b+c)
D.min{a,b,c}⩽13(a+b+c)
答案 BCD.
解析 不妨设 a⩾c,则b2⩾4ac⩾4c2,
于是 b⩾2c,因此a+b+c⩾a+2c+c⩾4c=4min{a,b,c},
选项 C 成立.
情形一 若 a⩾b⩾c,则b2⩾4ac⩾4bc,
于是 b⩾4c,从而a+b+c⩽94a=94max{a,b,c}.
情形二 若 b⩾4a⩾c,则a+b+c⩽94b=94max{a,b,c}.
情形三 若 4a>b⩾a⩾c,则a+b+c⩽a+b+b24a⩽b+54b=94max{a,b,c}.
注意 a+b24a 是关于 a 的对勾函数,当 b4<a⩽b 时,最大值在 a=b 时取到.
情形四 若 a⩾c>b,则a+b+c⩽a+a+b24a<a+a+a4=94a=94max{a,b,c}.
综上所述,选项 B 成立.
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