每日一题[2015]面积坐标公式

已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{m^{2}}=1$（$0<m<5$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，$A,B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．

1、求 $C$ 的方程．

2、若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|$，$BP \perp B Q$，求 $\triangle A P Q$ 的面积．

解析

1、椭圆 $C$ 的半长轴长 $a=5$，结合离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，可得其半焦距为 $\dfrac{5\sqrt{15}}4$，因此椭圆 $C$ 的半短轴长 $b=\dfrac 54$，因此 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{\dfrac{25}{16}}=1$．

2、不妨设 $Q(6,t)$（$t>0$），则由 $|B P|=|B Q|$，$BP \perp B Q$，可得 $P(5-t,1)$，进而

$$\dfrac{(5-t)^2}{25}+\dfrac{1}{\dfrac {25}{16}}=1,$$ 解得 $t=2$ 或 $t=8$．

情形一     $t=2$．此时 $P(3,1)$，$Q(6,2)$，$A(-5,0)$，进而 $\overrightarrow{AP}=(8,1)$，$\overrightarrow{AQ}=(11,2)$，因此 $\triangle APQ$ 的面积为

$$\dfrac 12|8\cdot 2-1\cdot 11|=\dfrac 52.$$

情形二     $t=8$．此时 $P(-3,1)$，$Q(6,8)$，$A(-5,0)$，进而 $\overrightarrow{AP}=(2,1)$，$\overrightarrow{AQ}=(11,8)$，因此 $\triangle APQ$ 的面积为

$$\dfrac 12|8\cdot 2-1\cdot 11|=\dfrac 52.$$

综上所述，$\triangle APQ$ 的面积为 $\dfrac 52$．