每日一题[2013]对数估值

已知 $5^{5}<8^{4}$，$13^{4}<8^{5}$．设 $a=\log _{5} 3$，$b=\log _{8} 5$，$c=\log _{13} 8$，则（       ）

A．$a<b<c$

B．$b<a<c$

C．$b<c<a$

D．$c<a<b$

答案    A．

解析    根据题意，有

$$\ln^2 5=\left(\dfrac 12\ln 25\right)^2>\left(\dfrac{\ln 3+\ln 8}2\right)^2>\ln 3\cdot \ln 8,$$ 于是 $$a={\log_5}3<{\log_8}5=b,$$ 而 $$b={\log_8}5=\dfrac 45{\log_{8^4}}5^5<\dfrac 45<\dfrac 45{\log_{13^4}}8^5={\log_{13}}8=c,$$ 因此 $a<b<c$．

备注    挑战：证明或否定对于斐波那契数列 $\{a_n\}$，有 $\left\{\dfrac{\ln a_n}{\ln a_{n+1}}\right\}$ 是单调递增数列．