每日一题[2009]完全切面

如图，已知三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面是正三角形，侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形，$M,N$ 分别为 $BC,B_1C_1$ 的中点，$P$ 为 $AM$ 上一点．过 $B_1C_1$ 和 $P$ 的平面交 $AB$ 于 $E$，交 $AC$ 于 $F$．

1、证明：$AA_1\parallel MN$，且 $A_1AMN\perp EB_1C_1F$．

2、设 $O$ 为 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中心．若 $AO\parallel EB_1C_1F$，且 $AO=AB$，求直线 $B_1E$ 与平面 $A_1AMN$ 所成角的正弦值．

解析

1、根据题意，有

$$\left.\begin{split} AA_1\parallel BB_1\implies AA_1\parallel BCC_1B_1,\\ AA_1NM\cap BCC_1B_1=MN,\end{split} \right\}\implies AA_1\parallel MN,$$ 而 $$\left.\begin{split} MN\perp BC,\\ AM\perp BC,\end{split}\right\}\implies BC\perp AMNA_1,$$ 且 $$\left.\begin{split} BC\parallel BB_1\implies BC\parallel EFC_1B,\\ ABC\cap EFC_1B=EC,\end{split}\right\}\implies EF\parallel BC,$$ 从而 $EF\perp AMNA_1$，进而 $EFC_1B\perp AMNA_1$，命题得证．

2、如图，延长 $A_1A,B_1E,C_1F$ 交于点 $Q$．

由于 $AO\parallel EFC_1B_1$ 可得 $AO\parallel PN$，进而 $ONPA$ 为平行四边形，从而 $\dfrac{AP}{A_1N}=\dfrac 13$，因此 $B_1E$ 与平面 $A_1AMN$ 所成角的正切值为

$$\tan\angle B_1QN=\dfrac{B_1N}{QN}=\dfrac{\dfrac12AB}{\dfrac 23AO}=\dfrac13,$$ 因此所求正弦值为 $\dfrac{\sqrt{10}}{10}$．