每日一题[2008]曲线联立

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合，$C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，交 $C_2$ 于 $C,D$ 两点，且 $|CD|=\dfrac 43|AB|$．

1、求 $C_1$ 的离心率．

2、设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点．若 $|MF|=5$，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程．

解析   

1、根据题意，抛物线 $C_2:y^2=4cx$，其中 $c=\sqrt{a^2-b^2}$．根据抛物线和椭圆的通径长公式，可得

$$\begin{cases} |CD|=4c,\\ |AB|=\dfrac{2b^2}a,\end{cases}\implies 4c=\dfrac 43\cdot \dfrac{2b^2}a\iff 2(a^2-c^2)=3ac,$$ 解得 $\dfrac ca=\dfrac 12$，从而 $C_1$ 的离心率为 $\dfrac 12$．

2、利用第 $(1)$ 小题的结果，有 $C_1:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=c^2$，$C_2:y^2=4cx$，联立可得 $M$ 点的横坐标满足

$$\dfrac{x^2}4+\dfrac{4cx}3=c^2,$$ 解得 $x=-6c$（舍去）或 $x=\dfrac{2c}3$．根据抛物线的定义，有 $$|MF|=5\iff \dfrac{2c}3+c=5\iff c=3,$$ 因此 $C_1$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1$，$C_2$ 的标准方程为 $y^2=12x$．