每日一题[2005]分离变量

已知函数 $f(x)={\rm e}^x+ax^2-x$．

1、当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant \dfrac 12x^3+1$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=1$ 时，$f(x)={\rm e}^x+x^2-x$，其导函数

$$f'(x)={\rm e}^x+2x-1,$$ 函数 $f'(x)$ 为单调递增函数，且 $f'(0)=0$，于是当 $x\in (-\infty,0)$ 时，函数 $f(x)$ 单调递减；当 $x\in (0,+\infty)$ 时，函数 $f(x)$ 单调递增．

2、根据题意，当 $x=0$ 时，不等式显然成立； 当 $x>0$ 时，有

$$f(x)\geqslant \dfrac 12x^3+1\iff a\geqslant \dfrac{\dfrac 12x^3+x+1-{\rm e}^x}{x^2},$$ 记右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{(x-2)\left(\left(x^2+2x+2\right){\rm e}^{-x}-2\right){\rm e}^x}{2x^3},$$ 设 $r(x)=\left(x^2+2x+2\right){\rm e}^{-x}-2$，则其导函数 $$r'(x)=-x^2{\rm e}^{-x},$$ 当 $x>0$ 时，函数 $r(x)$ 单调递减，而 $r(0)=0$，于是当$x>0$时，$r(x)<0$．因此函数 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增，在 $(2,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=2$ 处取得极大值，也为最大值．因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left[g(2),+\infty\right)$，即 $\left[\dfrac{7-{\rm e}^2}4,+\infty\right)$．