每日一题[1992]同余分析

已知 $a,b$ 为正整数，求 $M=3a^2-ab^2-2b-4$ 能取到的最小正整数值．

解析    因 $a,b$ 为正整数，要使得 $M=3a^2-ab^2-2b-4$ 的值为正整数，则有 $a\geqslant 2$．

当 $a=2$ 时，$b$ 只能为 $1$，此时 $M=4$，故 $M$ 能取到的最小正整数值不超过 $4$；

当 $a=3$ 时，$b$ 只能为 $1$ 或 $2$，若 $b=1$，$M=18$；若 $b=2$，则 $M=7$；

当 $a=4$ 时，$b$ 只能为 $1$ 或 $2$ 或 $3$，若 $b=1$，$M=38$；若 $b=2$，则 $M=24$，若 $b=3$，则 $M=2$．

下面证明 $M=3a^2-ab^2-2b-4$ 的值无法取到 $1$，用反证法．

假设 $M=1$，则 $$3a^2-ab^2-2b-4=1\iff 3a^2-ab^2=2b+5\iff a(3a-b^2)=2b+5,$$ 因 $b$ 为正整数，故 $2b+5$ 为奇数，从而 $a$ 为奇数，$b$ 为偶数，不妨设 $a=2m+1$，$b=2n$，其中 $m,n$ 均为正整数，则 $$a(3a-b^2)=(2m+1)[3(2m+1)-(2n)^2]=4(3m^2+3m-2mn^2-n^2)+3,$$ 即 $a(3a-b^2)$ 被 $4$ 除所得余数为 $3$，而 $2b+5=2(2n)+1=4n+1$ 被 $4$ 除所得余数为 $1$，故上式不可能成立，$M$ 不可能取到 $1$．

综上所述，$M$ 能取到的最小正整数值为 $2$．

备注    $2016$年全国初中数学联赛第$14$题，来源为$2014$年斯洛文尼亚数学奥赛题．