每日一题[134] 对称代数式的换元法

江苏海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试第14题：

在平面直角坐标系$xOy$中，设$A$、$B$为函数$f(x)=1-x^2$的图象与$x$轴的两个交点，$C$、$D$为函数$f(x)$图象上的两个动点，且$C$、$D$在$x$轴上方（不含$x$轴），则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$的取值范围为________．

正确答案是$\left(-4,\dfrac{6\sqrt 3-9}{4}\right]$．

显然当$C\to B$，$D\to A$时$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$最小，因此其下确界为$-4$．

不难推知$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$的最大值一定在$C$、$D$分别位于$y$轴两侧时取得．令$C(-a,1-a^2)$，$D(b,1-b^2)$，$a,b\in [0,1]$，则 $$\begin{split}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}&=(1-a)(b-1)+\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\\&=\left(1-a-b+ab\right)\left(a+b+ab\right),\end{split}$$ 令$a+b=2t$，$a-b=2s$，则$ab=t^2-s^2$，于是所求数量积 $$\begin{split}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}&=\left(1-2t+t^2-s^2\right)\left(2t+t^2-s^2\right)\\&\leqslant \left(1-2t+t^2\right)\left(2t+t^2\right)\\&=t^4-3t^2+2t,\end{split}$$ 等号当且仅当$s=0$时取得．

令$g(t)=t^4-3t^2+2t$，$0<t<1$，则 $$g'(t)=4t^3-6t+2=2(t-1)\left(2t^2+2t-1\right),$$ 于是当$t=\dfrac{\sqrt 3-1}{2}$时，$g(t)$取得最大值$\dfrac{6\sqrt 3-9}{4}$．

综上，所求数量积的取值范围是$\left(-4,\dfrac{6\sqrt 3-9}{4}\right]$．