每日一题[1986]LTE引理

已知 $n$ 是使得 $3^3\cdot 5^5\cdot 7^7\mid 149^n-2^n$ 的最小正整数，则 $n$ 的正整数因子的个数为_______．

答案    $270$．

解析    由于 $149-2=147=3\cdot 7^2$，根据 $\tt LTE$ 引理，$n=3^2\cdot 7^5\cdot k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）． 注意右侧的尾数，可得 $k\equiv 0\pmod 4$，而

$$149^4-2^4=(149^2-2^2)(149^2+2^2)=147\cdot 151\cdot 22205=147\cdot 151\cdot 5\cdot 4441,$$ 再根据 $\tt LTE$ 引理有 $k=2^2\cdot 5^4\cdot m$（$m\in\mathbb N^{\ast}$）．

综上所述，$n$ 的最小值为 $2^2\cdot 3^2\cdot 5^4\cdot 7^5$，于是其正整数因子个数为 $3\cdot 3\cdot 5\cdot 6=270$．