每日一题[1984]连环扣

对于实数 $x$ 记 $\lfloor x \rfloor$ 为不超过 $x$ 的最大整数. 并定义 $x$ 的小数部分为 $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. 例如, $\{3\}=0$, $\{4.56\}=0.56$. 令 $f(x)=x\{x\}$, 并记 $N$ 为关于 $x$ 的方程 $f(f(f(x)))=17$ 在区间 $[0,2020]$ 中的解的个数, 则 $N$ 模 $1000$ 的余数为_______.

答案    $10$．

解析  注意到若 $x\in [n,n+1)$ ($n\in\mathbb N$), 则 $f(x)=n(x-n)$, 在区间 $x\in [n,n+1)$ 上单调递增, 且取值范围是 $[0,n+1)$. 因此方程 $f(x)=t$ 在区间 $[k,k+1)$ ($k=t,t+1,\cdots,$) 有解, 且每个区间恰好有一个解. 现在考虑 $f(x)=17$ 在区间 $[a,a+1)$ ($a\in\mathbb N$) 上的解, 在处理方程 $f(f(x))=17$ 的过程中, 这个解在区间 $[k,k+1)$ ($k=a,a+1,\cdots$) 上都有对应有解. 类似的, 考虑 $f(x)=17$ 在区间 $[a,a+1)$ 且 $f(f(x))=17$ 在区间 $[b,b+1)$ 上的解, 在处理方程 $f(f(f(x)))=17$ 的过程中, 这个解在区间 $[k,k+1)$ ($k=b,b+1,\cdots,$) 上都对应有解. 综上所述, 方程 $f(f(f(x)))=17$ 的每个解都与一个有序自然数对 $(a,b,c)$ 一一对应, 其中 $17\leqslant a\leqslant b\leqslant c< 2020$, 因此所求 $N=\dbinom{2005}{3}$, 而

$$N=\dfrac{2005\cdot 2004\cdot 2003}6\equiv 5\cdot 334\cdot 3\equiv 10\pmod {1000}.$$