每日一题[1982]串串

在 $m\times n$ ($m,n>1$ 且 $m,n$ 均为奇数) 的矩形网格 (每个小格都是单位正方形) 中, 从第一行开始从左到右依次填入 $1,2,\cdots,n$, 第二行从左到右依次填入 $n+1,n+2,\cdots,2n$, 以此类推填入输入. 已知 $200$ 在第一行, $2000$ 在最后一行, 且经过 $200$ 和 $2000$ 所在的正方形中心的直线恰好通过 $1099$ 所在的正方形内部, 则符合条件的 $(m,n)$ 的组数为_______.

答案    $248$．

解析    由 $200$ 位于第一行, $2000$ 位于最后一行, 可得 $$\begin{cases} 200\leqslant n,\\ (m-1)n<2000\leqslant mn,\end{cases}\implies \begin{cases} 1<m\leqslant 10,\\ \dfrac{2000}{m}\leqslant n<\dfrac{2000}{m-1},\end{cases}$$ 因此可能的 $m=3,5,7,9$. 设 $2000\equiv r\pmod n$, 则 $2000$ 位于第 $m$ 行第 $r$ 列, 而 $200$ 位于第 $1$ 行, 第 $200$ 列. 由于经过 $200$ 和 $2000$ 所在的正方形中心的直线 $l$ 必然经过 $1010$ 所在的正方形中心, 因此若直线 $l$ 经过 $1099$ 所在正方形的内部, 那么直线 $l$ 的斜率在区间 $(-1,1)$ 中, 也即 $$\dfrac{m-1}{|200-r|}<1\iff |200-r|>m-1,$$ 当 $m$ 分别为 $3,5,7,9$ 时, $n$ 对应取 $900,450,300,225$, 此时直线 $l$ 为竖直直线, 当 $n$ 比该分界点大 $1$ 时, 直线 $l$ 斜率为 $1$; 当 $n$ 比该分界点小 $1$ 时, 直线 $l$ 斜率为 $-1$. 而当 $n$ 继续增大时, $r$ 会减少, 因此直线 $l$ 的斜率在区间 $(0,1)$ 中; 当 $n$ 继续减小时, $r$ 会增大, 因此直线 $l$ 的斜率会在区间 $(-1,0)$ 中, 因此 $$\begin{array} {c|c|c|c|c}\hline m&n\text{ 的最小值}& n\text{ 的最大值}&\text{不符合要求的 }n&\text{符合要求的 }n\text{ 的个数}\\ \hline 3& 667&999&901,900,899&165\\ \hline 5&400&499&451,450,449&48\\ \hline 7&286&333&301,300,299&22\\ \hline 9&223&249&226,225,224&13\\ \hline \end{array}$$ 从而所求总数为 $165+48+22+13=248$.