每日一题[1975]进制转换

对于任意正整数 $n$, 令 $f(n)$ 为四进制下 $n$ 的各个数位之和, 令 $g(n)$ 为 $f(n)$ 的值在八进制下表示的各个数位之和. 例如, $f(2020)=f\left(133210_{(4)}\right)=10=12_{(8)}$, 于是 $g (2020)$ 为 $12$ 的各位数字之和, 为 $3$. 使 $g (n)$ 在十六进制下不能仅用 $0$ 到 $9$ 来表示的最小的数字 $n$, 记作 $N$, 则 $N$ 模 $1000$ 的余数是_______．

答案    $151$．

解析    在十六进制下不能仅用 $0$ 到 $9$ 来表示的最小的数字为 $10_{(10)}$, 于是 $$f(N)=37_{(8)}=31_{(10)},$$ 因此 $$N=13333333333_{(4)}=2\cdot 4^{10}-1=2\cdot 1024^{2}-1\equiv 2\cdot 24^2-1\equiv 151\pmod {1000}.$$