每日一题[1973]临界状态

已知平面直角坐标系下直线 l 过点 D0(0,3) 且斜率为 3,点 D 在直线 l 上运动.若以 D(a,b) 为圆心,以 λ(13a+b) 为半径的圆与曲线 xy=6 的公共点个数不超过 2,则 λ 的最大值为______.

答案    31010

解析    根据题意,有 l:y=3x+3.设 D 点的横坐标为 m,则题中的圆的半径r(m)=λ(103m+3),

考虑到问题为求 λ 的最大值,因此只考虑 λ>0 的情形,此时 m>910.考虑到当 m 增大时,点 D(m,13m+3) 在直线 l 上向右上方运动,半径 r(m) 逐渐增大,会形成一系列半径逐渐变大的圆.问题的关键是这些圆与双曲线 xy=6 的位置关系. 考虑到这些圆的圆心在直线 l 上运动,我们选择以 D0 为参照物.注意到半径 r 是关于 m 的一次函数,圆心 DD0 的距离 d=10m 也是关于 m 的一次函数,因此随着 m 的增大,考虑这一系列圆在直线 l 上的投影,可能会有以下几种不同的变化(先忽略下面的标数).

设直线 l 与双曲线交于点 A,B,其中 A 位于第三象限,B 位于第一象限(事实上,A(2,3)B(1,6)),圆 D 在直线 l 上的投影为线段 MN,其中M点的横坐标小于N点的横坐标,那么随着 m 的变大,N 点显然会趋于右上无穷远处,而 M 可能向左下运动,可能不动,也可能向右上运动,取决于 rd 增长的速度快慢. 这样我们就理解了解决问题的关键,中图为临界状态,此时 M 为定点,圆 D 只可能与双曲线在第一象限的部分有至多 2 个公共点.如果 λ 比临界值更大,那么 M 会趋于左下无穷远处,此时圆 D 与双曲线会出现多于 2 个公共点的情形;而如果 λ 比临界值更小,那么圆 D 整体是向右上运动的,比临界状态更“安全”. 接下来我们建立代数关系求出 λ 的临界值.

如图,在以 D0 为原点的数轴上,D 点坐标为 10m,圆 D 半径为 λ(103m+3),因此 M 点坐标 t=10mλ(103m+3).临界状态为 t 是常数,此时 λ=310(此时 t=910,在原直角坐标系下,M 为定点 M0(910,310)).

最后就是严格说理的部分了,临界状态可以通过所有圆在过 M0 的直线 l 的垂线的一侧来证明.λ 不能取得更大的值可以通过当 m 足够大时,点 M,N 会分别位于第三、一象限双曲线内部,且与此同时圆 D 必然存在位于第二、四象限的部分来证明圆 D 与双曲线可以有 4 个公共点说明.

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