每日一题[1970]参数方程

已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，经过 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于不同的两点 $A,B$，点 $O$ 为坐标原点，直线 $OA$ 交抛物线的准线于点 $C$．

1、证明：直线 $BC\parallel x$ 轴．

2、若点 $Q$ 是线段 $AB$ 上的点，且 $\dfrac{2}{|FQ|^2}=\dfrac{1}{|FA|^2}+\dfrac{1}{|FB|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．

解析

1、根据题意，有 $F(1,0)$，设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，$C(-1,4c)$，则直线 $OA$ 与直线 $OC$ 斜率相等，即 $\dfrac{1}{a}=-4c$，也即 $4ac=-1$，而直线 $FA$ 与直线 $FB$ 斜率相等整理可得 $4ab=-1$，从而 $b=c$，因此直线 $BC\parallel x$ 轴．

2、直线 $l:x=(a+b)y+1$，设 $Q(x,y)$，则 $a+b=\dfrac{x-1}y$，而 $$\dfrac{2}{y^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}=16((a+b)^2-2ab)=16(a+b)^2+8,$$ 即 $$\dfrac 2{y^2}=16\cdot \dfrac{(x-1)^2}{y^2}+8\iff 8(x-1)^2+4y^2=1.$$