每日一题[1970]参数方程

已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$,经过 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于不同的两点 $A,B$,点 $O$ 为坐标原点,直线 $OA$ 交抛物线的准线于点 $C$.

1、证明:直线 $BC\parallel x$ 轴.

2、若点 $Q$ 是线段 $AB$ 上的点,且 $\dfrac{2}{|FQ|^2}=\dfrac{1}{|FA|^2}+\dfrac{1}{|FB|^2}$,求点 $Q$ 的轨迹方程.

解析

1、根据题意,有 $F(1,0)$,设 $A(4a^2,4a)$,$B(4b^2,4b)$,$C(-1,4c)$,则直线 $OA$ 与直线 $OC$ 斜率相等,即 $\dfrac{1}{a}=-4c$,也即 $4ac=-1$,而直线 $FA$ 与直线 $FB$ 斜率相等整理可得 $4ab=-1$,从而 $b=c$,因此直线 $BC\parallel x$ 轴.

2、直线 $l:x=(a+b)y+1$,设 $Q(x,y)$,则 $a+b=\dfrac{x-1}y$,而\[\dfrac{2}{y^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}=16((a+b)^2-2ab)=16(a+b)^2+8,\]即\[\dfrac 2{y^2}=16\cdot \dfrac{(x-1)^2}{y^2}+8\iff 8(x-1)^2+4y^2=1.\]

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