每日一题[1964]代数形式

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$（$d\ne 0$），前 $n$ 项和为 $S_n$，若数列 $\left\{\sqrt{8S_n+2n}\right\}$ 也是公差为 $d$ 的等差数列，则数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=$ _______．

答案    $4n-\dfrac 94$($n\in\mathbb N^*$)．

解析    lanqi根据题意，设 $S_n=\dfrac d2n^2+an$，则

$$8S_n+2n=4dn^2+(8a+2)n,$$ 此关于 $n$ 的二次式为完全平方式，因此 $a=-\dfrac 14$，且 $\sqrt{4d}=d$，于是 $d=4$，从而 $a_n=4n-\dfrac 94$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．.org/wp-admin/post.php?post=30251&action=edit