每日一题[1960]四点共圆

已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 向一条渐进线作垂线，交双曲线右支于点 $P$，直线 $F_{2} P$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$（$P, Q$ 在 $x$ 轴同侧），连接 $Q F_{1}$，若 $\triangle P Q F_{1}$ 的内切圆圆心恰好落在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上，则 $\angle F_{1} P F_{2}$ 的大小为[[nn]]；双曲线的离心率 $e$ 为_______．

答案    $90^\circ$；$\sqrt 5$．

解析    如图．

根据题意，$QO$ 平分 $\angle F_1QF_2$，于是 $\triangle QF_1P$ 的内切圆圆心为 $\angle QPF_1$ 的平分线与 $y$ 轴的交点 $I$，且 $\angle QF_1I=\angle PF_1I$．又根据对称性可得 $\angle QF_1I=\angle QF_2I$，于是 $\angle IF_1P=\angle IF_2P$，从而 $F_1,I,P,F_2$ 四点共圆，$\angle F_1PF_2$ 为直角．进而由 $PF_1$ 与渐近线垂直可得 $PF_2:PF_1:F_1F_2=a:b:c$（其中 $c$ 为双曲线的半焦距），从而

$$PF_1-PF_2=2a\implies 2b-2a=2a\implies b=2a\implies e=\sqrt 5.$$