每日一题[133] 处理条件极值的两种策略

首先发一个高能预警，本题为2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第17题：

已知正数$a,b,c$满足$2a+4b+7c\leqslant 2abc$，求$a+b+c$的最小值．

正确答案是$\dfrac{15}{2}$．

法一    待定参数法

将$a+b+c$改写为 $$\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{z}\geqslant (x+y+z)\left(\dfrac ax\right)^{\frac{x}{x+y+z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac {y}{x+y+z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac {z}{x+y+z}},$$ 等号当且仅当$\dfrac ax=\dfrac by=\dfrac cz$时取得．

此时条件变为 $$\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{2x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{4y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{7z}\leqslant 2xyz\cdot\dfrac ax\cdot\dfrac by\cdot\dfrac cz,$$ 而不等式左边满足 $$\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{2x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{4y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{7z}\geqslant (2x+4y+7z)\left(\dfrac ax\right)^{\frac {2x}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac {4y}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac {7z}{2x+4y+7z}},$$ 于是有 $$\left(\dfrac ax\right)^{\frac{4y+7z}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac{2x+7z}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac{2x+4y}{2x+4y+7z}}\geqslant \dfrac {2x+4y+7z }{2xyz},$$ 等号当且仅当$\dfrac ax=\dfrac by=\dfrac cz$时取得．

为了将以上两个不等式对接，需要 $$\dfrac{x}{4y+7z}=\dfrac{y}{2x+7z}=\dfrac{z}{2x+4y},$$ 于是解方程组 $$\begin{cases}4y+7z=\lambda x,\\2x+7z=\lambda y,\\2x+4y=\lambda z,\end{cases}$$ 可解得 $$\lambda=8,$$ 于是可得 $$x=6,y=5,z=4,$$ 进而 $$a=3,b=\dfrac 52,c=2$$ 时$a+b+c$取得最小值为$\dfrac {15}2$．

法二   累次求极值

根据已知条件有 $$c\geqslant\dfrac{2a+4b}{2ab-7},$$ 从而 $$a+b+c\geqslant a+b+\dfrac{2a+4b}{2ab-7},$$ 等号当且仅当$c=\dfrac{2a+4b}{2ab-7}$时取得．

再考虑$b$，视$a$为参数，有 $$\begin{split}a+b+\dfrac{2a+4b}{2ab-7}&=a+b+\dfrac 2a+\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}\\&=a+\dfrac{11}{2a}+\dfrac{2ab-7}{2a}+\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}\\&\geqslant a+\dfrac{11}{2a}+2\sqrt{\dfrac{7}{a^2}+1},\end{split}$$ 等号当且仅当 $$\dfrac{2ab-7}{2a}=\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}$$ 时取得．

令 $$f(a)=a+\dfrac{11}{2a}+2\sqrt{\dfrac{7}{a^2}+1},a>0,$$ 则 $$f'(a)=1-\dfrac{11}{2a^2}-\dfrac{14}{a^2\sqrt{a^2+7}},$$ 从而$f(a)$在$a=3$时取得最小值$f(3)=\dfrac{15}{2}$．

综上，当$a=3$，$b=\dfrac 52$，$c=2$时，$a+b+c$取得最小值$\dfrac{15}2$．