每日一题[1957]三倍角公式

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=90^\circ$，点 $D$ 在边 $BC$ 上，$\angle BAD=2\angle C$，$BC=12$，$CD=8$，则 $AB=$ _______．

答案    $\dfrac{12\sqrt 7}7$．

解析    设 $\angle C=x$，则 $\angle DAC=\dfrac{\pi}2-3x$，$\angle ADC=\dfrac{\pi}2+2x$，且 $AC=\dfrac{12}{\cos x}$，于是在 $\triangle ADC$ 中应用正弦定理，有

$$\dfrac{AC}{\sin\angle ADC}=\dfrac{CD}{\sin\angle DAC}\implies \dfrac{12}{\cos x\sin\left(\dfrac{\pi}2+2x\right)}=\dfrac{8}{\sin\left(\dfrac{\pi}2-3x\right)},$$ 于是 $$\dfrac{\cos 3x}{\cos x\cos 2x}=\dfrac 23\iff \dfrac{4\cos^3x-3\cos x}{2\cos^3x-\cos x}=\dfrac 23\iff \cos x=\dfrac{\sqrt{14}}4,$$ 于是 $$AB=BC\cdot\tan x=12\cdot\dfrac{1}{\sqrt7}=\dfrac{12\sqrt 7}7.$$