每日一题[1937]估计上界

已知函数 $f(x)=(\cos\theta+1)\cos 2x+\cos\theta(\cos x+1)$，则（       ）

A．$f(x)$ 是偶函数

B．$f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减

C．当 $\theta\in\left[\dfrac{2\pi}3,\dfrac{3\pi}4\right]$ 时，有 $|f(x)|<\dfrac 75$

D．当 $\theta\in\left[\dfrac{2\pi}3,\dfrac{3\pi}4\right]$ 时，有 $|f'(x)|<\dfrac{14}5$

答案    ACD．

解析   

选项 A    由于 $y=\cos 2x$ 和 $y=\cos x+1$ 均为偶函数，因此它们的线性组合必然为偶函数，选项 $\boxed{A}$ 正确．

选项 B     取 $\theta=\pi$，则 $f(x)=-(\cos x+1)$，在 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增，选项 $\boxed{B}$ 错误．

选项 C    考虑 $g(t)=(2a+2)t^2+at-1$，其中 $a=\cos\theta$ 且 $a\in\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,-\dfrac 12\right]$，$t=\cos x$ 且 $t\in [-1,1]$．因此 $g(t)$ 的最小值为 $$g\left(-\dfrac{a}{4(a+1)}\right)=-1-\dfrac{a^2}{8(a+1)}\in\left[-\dfrac 98-\dfrac{\sqrt 2}{16},-\dfrac{17}{16}\right],$$ 其最大值为 $$\max\{3a+1,a+1\}=a+1\in \left[1-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac 12\right],$$ 因此 $|f(x)|$ 的最大值为 $\dfrac{18+\sqrt 2}{16}$（小于 $\dfrac 75$），选项 $\boxed{C}$ 正确．

选项 D    函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=2(a+1)\sin 2x+a\sin x,$$ 其中 $a\in\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,-\dfrac 12\right]$．设该函数为 $g(x)$，注意到这是一个奇函数，只需要考虑它的最大值即可，而考 $$g(x)\leqslant 2(a+1)-a=a+2\in \left[2-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac 32\right],$$ 即得，选项 $\boxed{D}$ 正确．