每日一题[1936]细心讨论

已知函数 $f(x)=ax^3-(3a-2)x^2-8x+12a+7$，$g(x)=\ln x$，记 $h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$，若 $h(x)$ 至少有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(-\infty,-\dfrac{1}{10}\right)$

B．$\left(\dfrac 18,+\infty\right)$

C．$\left[-\dfrac{1}{10},\dfrac 18\right)$

D．$\left[-\dfrac1{1},\dfrac 18\right]$

答案    C．

解析    设函数 $f(x)$ 在 $x\in (1,+\infty)$ 上的零点个数为 $m$，则 $h(x)$ 的零点个数为 $$\begin{cases} m,& f(1)<0,\\ m+1,&f(1)\geqslant 0.\end{cases}$$ 函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的函数值 $f(1)=10a+1$，$f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=(x-2)(3ax+4),$$ 且 $f(2)=8a-1$．

情形一    $f(1)<0$，即 $a<-\dfrac{1}{10}$．此时由于当 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上必然有零点，因此 $m\leqslant 2$，不符合题意．

情形二     $f(1)\geqslant 0$，即 $a\geqslant -\dfrac{1}{10}$．此时考虑讨论确定三次函数图象“开口”方向的分界点 $a=0$．

情形二 $(1)$     $-\dfrac{1}{10}\leqslant a<0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上减增减，$x=2$ 为极小值点且极小值小于 $0$，$x=-\dfrac{4}{3a}$ 为极大值点．因此只需极大值 $$f\left(-\dfrac{4}{3a}\right)>0\iff \dfrac{32}{27a^2}-\dfrac{16}a+12a+7>0,$$ 这显然成立．

情形二 $(2)$     $a\geqslant 0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(1,\infty)$ 先减后增，$x=2$ 为极小值点，因此只需极小值 $$f(2)=8a-1<0,$$ 于是得到 $0\leqslant a<\dfrac 18$． 综上所述，所求实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{1}{10},\dfrac 18\right)$．