每日一题[1935]恰有联系

设 $a,b,c$ 是三角形 $ABC$ 的三边长，且 $a+b+c=1$，则 $a^2+b^2+c^2+4abc$ 的取值范围是_______．

答案    $\left[\dfrac{13}{27},\dfrac 12\right)$

设题中代数式为 $m$，由海伦公式，三角形 $ABC$ 的面积

$$S=\sqrt{\dfrac 12\cdot \left(\dfrac 12-a\right)\left(\dfrac 12-b\right)\left(\dfrac 12-c\right)}=\dfrac14\sqrt{1-2(a+b+c)+4(ab+bc+ca)-8abc},$$ 而 $$(a+b+c)^2=1\implies 2(ab+bc+ca)=1-(a^2+b^2+c^2),$$ 于是 $$S=\dfrac 14\sqrt{1-2(a^2+b^2+c^2+4abc)}\implies m=\dfrac{1-16S^2}2,$$ 容易知道周长固定为 $1$ 的三角形的面积的取值范围是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 3}{36}\right]$（正三角形面积最大），因此所求 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{13}{27},\dfrac 12\right)$．