每日一题[1932]参数方程

直线 $l$ 交 $y^2=4x$ 于 $A,B$ 两点，若四边形 $OAMB$（$O$ 为坐标原点）是矩形，则直线 $OM$ 的斜率的最大值为（       ）

A．$\dfrac 14$

B．$\dfrac{\sqrt 2}4$

C．$\dfrac 12$

D．$\dfrac{\sqrt 2}2$

答案    B．

解析    设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，则 $$OA\perp OB\iff 4a^2\cdot 4b^2+4a\cdot 4b=0\iff ab=-1,$$ 于是直线 $OM$ 的斜率 $$k=\dfrac{2a+2b}{2a^2+2b^2}=\dfrac{a+b}{(a+b)^2+2}=\dfrac{1}{a+b+\dfrac 2{a+b}}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}4,$$ 等号当 $a+b=\sqrt 2$ 时取得，因此所求斜率的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}4$．