设 $m$ 为正整数，各项均为正整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 定义如下：$a_1=1$， \[ a_{n+1}= \begin{cases} \dfrac{a_n}{2},&2\mid a_n,\\ a_n+m,&2\nmid a_n. \end{cases} \]
1、若 $m=5$，写出 $a_8,a_9,a_{10}$．
2、求证：“数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增”的充要条件是“$m$ 为偶数”．
3、若 $m$ 为奇数，是否存在 $n>1$ 满足 $a_n=1$？请说明理由．
解析
1、根据题意，有\[\begin{array}{c|cccccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline a_n&1&6&3&8&4&2&1&6&3&8\\ \hline \end{array}\]
2、若 $m$ 是偶数，那么 $a_n=m(n-1)+1$，为单调递增数列； 若 $m$ 是奇数，则 $a_1=1$，$a_2=1+m$，$a_3=\dfrac{1+m}2<1+m$，不为单调递增数列． 综上所述，命题得证．
3、存在． 题目的本质是证明数列会循环，那么首先想到的是把数列的项的取值“压缩”到有限个．给出引理：如果 $m$ 是奇数，那么可以证明数列 $\{a_n\}$ 有上界 $2m$．引理可以利用数学归纳法证明：数列中的所有奇数不超过 $m$，所有偶数不超过 $2m$．
数列有界的证明 数列中的第一个数 $a_1=1$ 符合引理．由于数列中的偶数或者由之前一个偶数除以 $2$ 得到，后者由之前一个奇数加 $m$ 得到；而数列中的奇数（除了首项外）都是偶数除以 $2$ 得到的，因此可以递推证明引理．
数列周期的证明 接下来由于数列有无穷项，而取值有限，因此必然有相同的项出现，因此数列必然为周期数列，现在的问题是能不能回到 $1$．
数列中会出现 $1$ 的证明 根据题意，有\[a_n=\begin{cases} 2a_{n+1},&a_{n+1} \leqslant m,\\ a_{n+1}-m,&a_{n+1}>m,\end{cases}\]这就意味着如果 $a_k=a_{k+T}$ 且 $k\geqslant 2$，那么必然有 $a_{k-1}=a_{k+T-1}$，以此类推，循环节不断前移，可得 $a_1=a_{1+T}$，因此 $1$ 必然在循环节中． 综上所述，存在 $n>1$，满足 $a_n=1$．