每日一题[1919]充分性探路

已知函数 $f(x)=(kx-1){\rm e}^x-k(x-1)$．

1、若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线斜率与 $k$ 无关，求 $x_0$．

2、若存在实数 $x$ 使 $f(x)<0$ 成立，求整数 $k$ 的最大值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=k\left(-1+{\rm e}^x+x{\rm e}^x\right)-{\rm e}^x,$$ 考虑函数 $g(x)={\rm e}^x(x+1)-1$，当 $x<0$ 时，有 $$g(x)<(x+1)-1=x<0,$$ 当 $x>0$ 时，有 $$g(x)>(x+1)-1=x>0,$$ 因此 $g(x)$ 有唯一零点 $x=0$，因此 $x_0=0$．

2、根据题意，有

$$\exists x\in\mathbb R,k\left(x{\rm e}^x-x+1\right)-{\rm e}^x<0.$$ 当 $k=1$ 时，取 $x=\ln 2$，有 $$LHS=\ln 2-1<0.$$ 而当 $k=2$ 时，有 $$LHS={\rm e}^x(2x-1)-2x+2=\left({\rm e}^x-1\right)(2x-1)+1,$$ 于是当 $x\leqslant 0$ 或 $x\geqslant \dfrac 12$ 时，均有左边不小于 $1$，下面证明当 $x\in (0,1)$ 时，也有左边大于 $0$．此时设 $h(x)={\rm e}^x(2x-1)-2\sqrt {\rm e}x+2$（$0<x<1$），则左边不小于 $h(x)$，且 $h(x)$ 的导函数 $$h'(x)={\rm e}^x(2x+1)-2{\rm e},$$ 于是 $h(x)$ 在 $x=\dfrac 12$ 处取得极小值，也为最小值 $h\left(\dfrac 12\right)=2-\sqrt{\rm e}>0$． 综上所述，整数 $k$ 的最大值为 $1$．