每日一题[1906]暴力计算

如图,在 ABC 中,C 为直角,DAB 边上一点,BDC=2BCD,若 CD=4AB=9,则 AC=_______.

答案    21215

解析    由于 ADC=2DCA,因此 A,B 对称,设 BCD=xxπ4,则 BDC=2xA=3xπ2B=π3x,于是在 BCD 中应用正弦定理,有BCsinBDC=CDsinB9sin(3xπ2)sin2x=4sin(π3x),从而9sin6x=8sin2xsin2x=356,AC=9cos(3xπ2)=9sin3x=215,再利用对称性,另一个解为此时 BC 的长,为 21

备注    cos6x=4cos22x3cos2x=1327,于是 sin23x=1cos6x2=2027

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