如图,在 △ABC 中,C 为直角,D 为 AB 边上一点,∠BDC=2∠BCD,若 CD=4,AB=9,则 AC=_______.
答案 √21 或 2√15.
解析 由于 ∠ADC=2∠DCA,因此 A,B 对称,设 ∠BCD=x 且 x⩽π4,则 ∠BDC=2x,A=3x−π2,B=π−3x,于是在 △BCD 中应用正弦定理,有BCsin∠BDC=CDsinB⟺9sin(3x−π2)sin2x=4sin(π−3x),从而−9sin6x=8sin2x⟺sin2x=√356,有AC=9cos(3x−π2)=9sin3x=2√15,再利用对称性,另一个解为此时 BC 的长,为 √21.
备注 cos6x=4cos22x−3cos2x=−1327,于是 sin23x=1−cos6x2=2027.