每日一题[1906]暴力计算

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$C$ 为直角，$D$ 为 $AB$ 边上一点，$\angle BDC=2\angle BCD$，若 $CD=4$，$AB=9$，则 $AC=$_______．

答案    $\sqrt {21}$ 或 $2\sqrt{15}$．

解析    由于 $\angle ADC=2\angle DCA$，因此 $A,B$ 对称，设 $\angle BCD=x$ 且 $x\leqslant \dfrac{\pi}4$，则 $\angle BDC=2x$，$A=3x-\dfrac{\pi}2$，$B=\pi-3x$，于是在 $\triangle BCD$ 中应用正弦定理，有

$$\dfrac{BC}{\sin\angle BDC}=\dfrac{CD}{\sin B}\iff \dfrac{9\sin\left(3x-\dfrac{\pi}2\right)}{\sin 2x}=\dfrac{4}{\sin(\pi-3x)},$$ 从而 $$-9\sin 6x=8\sin 2x\iff \sin 2x=\dfrac{\sqrt{35}}6,$$ 有 $$AC=9\cos\left(3x-\dfrac{\pi}2\right)=9\sin 3x=2\sqrt{15},$$ 再利用对称性，另一个解为此时 $BC$ 的长，为 $\sqrt{21}$．

备注    $\cos 6x=4\cos^22x-3\cos2x=-\dfrac{13}{27}$，于是 $\sin^23x=\dfrac{1-\cos 6x}2=\dfrac{20}{27}$．