每日一题[1904]层层递进

已知 $\triangle A_0B_0C_0$ 为内角分别为 $59.999^\circ,60^\circ,60.001^\circ$ 的三角形．对于每个正整数 $n$，定义 $A_n$ 为 $A_{n-1}$ 在边 $B_{n-1}C_{n-1}$ 上的投影，类似的，$B_n$ 为 $B_{n-1}$ 在边 $C_{n-1}A_{n-1}$ 上的投影，$C_n$ 为 $C_{n-1}$ 在边 $A_{n-1}B_{n-1}$ 上的投影，则使得 $\triangle A_nB_nC_n$ 为钝角三角形的最小正整数 $n$ 是（       ）

A．$10$

B．$11$

C．$13$

D．$14$

E．$15$

答案    E．

解析    设 $\triangle A_nB_nC_n$（$n\in\mathbb N$）的内角 $A_n,B_n,C_n$ 的度数分别为 $x_n,y_n,z_n$，则

$$\begin{cases} x_{n+1}=180-2x_n,\\ y_{n+1}=180-2y_n,\\ z_{n+1}=180-2z_n,\end{cases}$$ 从而利用不动点法，可得 $$x_n=(-2)^n\cdot (x_0-60)+60,$$ 类似可得 $$\begin{cases} x_n=60-(-2)^n\cdot 0.001,\\ y_n=60,\\ z_n=60+(-2)^n\cdot 0.001,\end{cases}$$ 因此只需考虑使得 $2^n\cdot 0.001>30$ 的最小正整数 $n$，即 $$\left[{\log_2}30000\right]+1=15.$$