每日一题[1903]充分简化

设 $\omega=-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}$，设 $S$ 是所有形如 $a+b\omega+c\omega^2$ 的复数在复平面内对应的点的集合，其中实数 $a,b,c\in [0,1]$，则 $S$ 的面积为（       ）

A．$\dfrac{1}{2}\sqrt3$

B．$\dfrac{3}{4}\sqrt3$

C．$\dfrac{3}{2}\sqrt3$

D．$\dfrac{1}{2}\pi\sqrt3$

E．$\pi$

答案    C．

解析    注意到 $1+\omega+\omega^2=0$，于是不妨设 $a,b,c$ 中的最小数为 $0$，否则 $a,b,c$ 同时减去最小数，对应的 $a+b\omega+c\omega^2$ 不变．此外若 $z\in S$，则 $z\cdot \omega\in S$，因此考虑 $c=0$ 时对应的点集，然后逆时针旋转 $\dfrac{2\pi}3$ 和 $\dfrac{4\pi}3$，将三部分求并集即得 $S$，如图．

由于 $b\omega$ 的轨迹为线段 $OA$，其中 $A\left(\dfrac{2\pi}3:1\right)$，然后将线段 $OA$ 往右平移 $a$（$a\in [0,1]$），划过的区域即 $a+b\omega$ 表示的复数对应的点集，为平行四边形 $OABC$，如图所示．将该区域旋转 $2$ 次即得 $S$，其面积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$．